113.	Kako glasi osnovna diferencijalna jednadžba kod slobodnih vibracija s prigušenjem?

 

U početnom trenutku (  ), slika a), opruga je neopterećena, a čestica ima početnu brzinu .

    Čestica će se gibati harmonijski kako je već opisano u prethodnom poglavlju, ali u ovom primjeru uz djelovanje prigušnog člana.

    Ako se u nekom trenutku ), slika b), čestica oslobodi veza, a veze zamijene silama, tada se mogu postaviti jednadžbe kinetičke ravnoteže (D'Alembertov princip) prema slici c):

 

    , slijedi .

    Ovdje je F_o sila u opruzi: , D je D'Alembertova sila usmjerena protivno ubrzanju: , dok je sila:

     prigušna sila harmonijskog gibanja te je:

    . Kako masa nije jednaka ništici, cijela se jednadžba može podijeliti s m te uvesti kao i ranije:     , pri čemu je  vlastita kružna frekvencija te koeficijent prigušenja .
    Sada slijedi:  . Ovo je također diferencijalna jednadžba gibanja (linearna homogena diferencijalna jednadžba drugog reda s konstantnim koeficijentima). Iz matematike je poznato opće rješenje ove diferencijalne jednadžbe koje polazi od:

    , pri čemu je  i . Rješenje diferencijalne jednadžbe gibanja ide preko rješenja karakteristične jednadžbe  čiji su korijeni: .